最短路径问题 - 好孩子's Blog

SPFA算法

适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

证明：

　　每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值

期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：

　　建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

对于图中的每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计。pre[v]代表S到v的当前最短路径中v点之前的一个点的编号,我们用下面的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。（Θ(V)时间）。经过初始化以后，对所有v∈V，pre[v]=NULL，对v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
struct node
{
int x;
int value;
int next;
};
node e[60000];
int visited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1000];
int main()
{
int n,m,u,v,w,start,h,r,cur,i;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
  for(i=1;i<=1500;i++)
  {visited[i]=0;
  dis[i]=-1;
  st[i]=-1;
  }

  for(i=1;i<=m;i++)
  {
   scanf("%d%d%d\n",&u,&v,&w);
   e[i].x=v;
   e[i].value=w;
   e[i].next=st[u];
   st[u]=i;
  }
  start=1;
  visited[start]=1;
  dis[start]=0;
  h=0;
  r=1;
  queue[r]=start;
  while(h!=r)
  {
   h=(h+1)%1000;
   cur=queue[h];
   int tmp=st[cur];
   visited[cur]=0;
   while(tmp!=-1)
   {
    if (dis[e[tmp].x]<dis[cur]+e[tmp].value)
    {
     dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value;
     if(visited[e[tmp].x]==0)
     {
      visited[e[tmp].x]=1;
      r=(r+1)%1000;
      queue[r]=e[tmp].x;
     }
    }
    tmp=e[tmp].next;
   }
  }
  printf("%d\n",dis[n]);
}
return 0;
}